(Classe 1a) - Tecnologie Informatiche

Proprietà dei sistemi di Numerazione Posizionale: Range dei Valori, Cambiamento di Base

Occorre fare una serie di considerazioni riguardo al range di valori (interi positivi) rappresentabili con un dato numero di cifre in una qualsiasi base e, viceversa, è importante sapere quante cifre occorrono per rappresentare un determinato numero.

Utilizzando N cifre in base b si possono rappresentare b^N distinti interi positivi, rispettivamente i valori che vanno da 0 a b^N -1.

Ad esempio se  N = 3

per b = 2 è possibile rappresentare 2³⁼16 interi positivi da 0  a 15 (111)

per b = 8 è possibile rappresentare 8³=512 interi positivi da 0 a 511 (777)

per b = 10 è possibile rappresentare 10³=1000 interi positivi da 0 a 999 

per b = 16 è possibile rappresentare 16³=4096 interi positivi da 0 a 4095(FFF)

Vogliamo adesso calcolare, data una qualsiasi base b, il numero minimo di cifre x necessarie per rappresentare un numero n. 

Si consideri che il massimo numero rappresentabile con x  cifre è b^x -1 , quindi

b^x -1 > n  ==>  b^x > n + 1

Cambio di base 

Spesso esiste l'esigenza di rappresentare un numero in base b in un'altra base a. Quindi dato un numero intero positivo in base b , Ib , come ottenere la sua rappresentazione in base a , I_a ?

Innanzi tutto si porta I_b  in base 10 ossia I₁₀ ,(noto), quindi si porta I₁₀  in Ia con il metodo seguente.

Sia D={ d₀ , d₁ , d₂ , . . . . , d_N-1}    l'insieme delle cifre utilizzate per rappresentare il numero in base a .

Possiamo scrivere l'uguaglianza:

I₁₀=d₀ + a x d₁ + a₂ x d₂ + a₃ x d₃ +  . . . .+ a_N-1 x d_N-1   = Mettendo in evidenza a ==>  d₀ + a(d₁ + a x d₂ + a₂ x d₃ + a₃ x d₄ +  . . . .+ a_N-2 x d_N-1)

ponendo R₀ = d₀   ed Q₀ = (d₁ + a x d₂ + a₂ x d₃ + a₃ x d₄ +  . . . .+ a_N-2 x d_N-1)

I₁₀=R₀ +a x Q₀

In altri termini, R₀  è il resto della divisione di I₁₀ per a  ed è anche la cifra meno significativa nella rappresentazione in base a.

A questo punto ripetendo il procedimento su  Q₀ , ottenendo Q₀=R₁ +a x Q₁ x R₁ = d₁  è la seconda cifra significativa in base a. L'algoritmo si itera fino all'annullamento del quoziente.

Esprimere il numero 25  in base 2

25 : 2 = 12 con resto 1  ==> Q0= 12 e R0== 1 .

12 : 2 = 6 con resto 0  ==> Q1= 6 e R1== 0

6 : 2 = 3 con resto 0  ==> Q2= 3 e R2== 0

3 : 2 = 1 con resto 1  ==> Q3= 1 e R3== 1

1 : 2 = 0 con resto 1  ==> Q4= 0 e R4== 1

Quindi  25  = 11001

Per sistema numerico decimale si intende il sistema di numerazione posizionale a base 10 che, per rappresentare i numeri, utilizza dieci cifre da 0 a 9 (0 1 2 3 4 5 6 7 8 9). In senso matematico stretto, un sistema decimale è un sistema con una base costituita da dieci elementi